Question

已知数列{an}的前n项和Sn满足关系式Sn+1=4an+2，且a1=1．（1）设bn=an+1-2an（n∈N+），证明：{bn}是等比

已知数列{an}的前n项和Sn满足关系式Sn+1=4an+2，且a1=1．（1）设bn=an+1-2an（n∈N+），证明：{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）求Sn．

Answer 1

（1）n≥2时，S_n=4a_n-1+2，S_n+1=4a_n+2
相减得a_n+1=4a_n-4a_n-1…．…2’
∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）
∴令b_n=a_n+1-2a_n，则b_n=2b_n-1
又b₁=a₂-2a₁而a₁=1，∴a₂=5，∴a₂=5
∴数列{b_n}是以3为首项，2为公比的等比数列…..4’
（2）由（1）bn＝3?2n?1∴an+1＝2an+3?2n?1
∴

an+1

2n?1

＝

an

2n?2

+3又

a1

21?2

＝2
∴数列{

an

2n?2

}是2为首项，3为公差的等差数列….6’
∴

an

2n?2

＝2+(n?1)?3＝3n?1
∴an＝2n?2(3n?1)…7’
（3）Sn＝4an?1+2＝4?2n?3(3n?4)+2＝2n?1(3n?4)+2（n≥2）
又S₁=a₁=1符合上式
∴n≥1时，Sn＝2n?1(3n?4)+2…12’