Question

等差数列{an}中，a1＞0，且3a8=5a13，则{Sn}中最大项为______

等差数列{an}中，a1＞0，且3a8=5a13，则{Sn}中最大项为______．

Answer 1

根据等差数列的性质得：a₁₃=a₈+5d①（d为公差），
又3a₈=5a₁₃，即a₁₃=

3

5

a₈②，
把②代入①得：a₈=-12.5d，
又a₈=a₁+7d，
∴a₁+7d=-12.5d，
∴a₁=-19.5d，
由等差数列的求和公式得：S_n=na₁+

n(n?1)

2

d，
将a₁=-19.5d代入整理得：S_n=0.5dn²-20dn，
∵a₁＞0，∴d＜0，
∴等差数列的S_n为二次函数，依题意是开口向下的抛物线，
∴当n=-

?20d

2×0.5d

=20时，S_n最大，最大值为S₂₀，
则{S_n}中最大项为S₂₀．
故答案为：S₂₀

Answer 2

根据题意:首项为a1,公差为d
3a8=5a13
因为:a8=a1+7d
a13=a1+12d
所以:
3(a1+7d)=5(a1+12d)
3a1+21d=5a1+60d
a1=-19.5d

由于a1>0
∴d＜0

∴Sn=na1+1/2n(n-1)d=d/2(n-20)²-200d，
∵Sn为关于n的二次函数，且d＜0，
∴此函数函数图象为开口向下的抛物线，即二次函数有最大值，
∴n=20时，Sn有最大值．