Question

已知椭圆O的中心在原点，长轴在x轴上，右顶点A（2，0）到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为f（x）．

已知椭圆O的中心在原点，长轴在x轴上，右顶点A（2，0）到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为f（x）．不过A点的动直线y=12x+m交椭圆O于P，Q两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）证明P，Q两点的横坐标的平方和为定值．

Answer 1

（1）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

＝1(a＞b＞0)．
由题意得a＝2，e＝

3

2

．
∴c＝

3

，b=1，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+y2＝1．
（2）证明：设点P(

x

1

，y1)，Q(

x

2

，y2)
将y＝

1

2

x+m带入椭圆，化简得：x²+2mx+2（m²-1）=0
∴x1+x2＝?2m，x1x2＝2(m2?1)，
∴

x

2 1

+

x

2 2

＝(x1+x2)2?2x1x2＝4，
∴P，Q两点的横坐标的平方和为定值4．