Question

已知：在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C分别在y轴、x上，且∠ACB=90°，AC=BC．（1）如图1，当A（0，

已知：在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C分别在y轴、x上，且∠ACB=90°，AC=BC．（1）如图1，当A（0，-2），C（1，0），点B在第四象限时，则点B的坐标为______；（2）如图2，若BO平分∠ABC，交AC于D，过A作AE⊥y轴，垂足为E，则AE与BD之间的数量关系是______（3）如图3，当点C在x正半轴上运动，点A在y正半轴上运动，点B在第四象限时，作BD⊥y于点D，试判断①OC+BDOA与②OC?BDOA中______是定值（只填序号），并求出这个定值．

Answer 1

（1）过点B作BD⊥OD，

∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCD=∠OAC，
在△AOC和△CDB中，

∠COA＝∠BDC＝90° ∠CAO＝∠BCD AC＝BC

，
∴△AOC≌△CDB（AAS），
∴CD=OA，BD=OC，
∴点B坐标为（3，-1）；
（2）延长BC，AE交于点F，

∵AC=BC，AC⊥BC，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠COD=22.5°，∠DAE=90°-∠ABD-∠BAD=22.5°，
在△ACF和△BCD中，

∠DAE＝∠COD BC＝AC ∠BCD＝∠ACF＝90°

，
∴△ACF≌△BCD（ASA），
∴AF=BD，
在△ABE和△FBE中，

∠ABE＝∠FBE BE＝BE ∠AEB＝∠FEB

，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AE=EF，
∴BD=2AE；
（3）作BE⊥OC，则BD=OE，

∵∠CAO+∠ACO=90°，∠ACO+∠BCE=90°，
∴∠CAO=∠BCE，
在△ACO和△BCE中，

∠BEC＝∠COA＝90° ∠BCE＝∠CAO BC＝AC

，
∴△ACO≌△BCE（AAS），
∴CE=OA，
∴OA+DB=OC．
∴

OC?BD

OA

=1．