在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,(2a-c)cosB=bcosC(Ⅰ)求角B的大小;(Ⅱ)若b=3,求a+c的

在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,(2a-c)cosB=bcosC(Ⅰ)求角B的大小;(Ⅱ)若b=3,求a+c的最大值.... 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,(2a-c)cosB=bcosC(Ⅰ)求角B的大小;(Ⅱ)若b=3,求a+c的最大值. 展开
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(Ⅰ)将(2a-c)cosB=bcosC,利用正弦定理化简得:(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,
整理得:2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA,
∵sinA≠0,
∴cosB=
1
2

则B=
π
3

(Ⅱ)∵b=
3
,cosB=
1
2

∴由余弦定理得:b2=a2+c2-2accosB,即3=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac,
∵(a+c)2-3ac≥(a+c)2-3×(
a+c
2
2=
(a+c)2
4

∴3≥
(a+c)2
4

则a+c≤2
3
,当且仅当a=c=
3
时,a+c取得最大值为2
3
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