Question

已知函数f（x）=（ax2+x+a）e-x（1）若函数y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线3x-y+1=0平行，求a的

已知函数f（x）=（ax2+x+a）e-x（1）若函数y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线3x-y+1=0平行，求a的值；（2）当x∈[0，4]时，f（x）≥e-4恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）函数f（x）=（ax²+x+a）e^-x
导数f′（x）=（2ax+1）e^-x+（ax²+x+a）e^-x
=e^-x（1+a+x+2ax+ax²），
则在点（0，f（0））处的切线斜率为f′（0）=1+a，
f（0）=a，由于切线与直线3x-y+1=0平行，
则有1+a=3，a=2；
（2）当x∈[0，4]时，f（x）≥e^-4恒成立，即有
当x∈[0，4]时，f（x）_min≥e^-4．
由于f′（x）=（2ax+1）e^-x+（ax²+x+a）e^-x
=e^-x（1+a+x+2ax+ax²）=（x+1）（ax+1+a）e^-x，
①当a≥0时，x∈[0，4]，f′（x）＞0恒成立，f（x）在[0，4]递增，
f（x）_min=f（0）=a≥e^-4；
②当a＜0时，f′（x）=a（x+1）（x+1+

1

a

）?e^-x，
当a≤-1，-1≤

1

a

＜0，0≤1+

1

a

＜1，-1＜-（1+

1

a

）≤0，
x∈[0，4]，f′（x）≤0恒成立，f（x）递减，
f（x）_min=f（4）=（17a+4）?e^-4≥e^-4，17a+4≥1，a≥-

3

17

，与a≤-1矛盾，
当-1＜a＜0时，

1

a

＜-1，1+

1

a

＜0，-（1+

1

a

）＞0，
f（x）在[0，4]递增，或存在极大值，
f（x）_min在f（0）和f（4）中产生，则需f（0）=a≥e^-4，
且f（4）=（17a+4）?e^-4≥e^-4，
且-1＜a＜0，
推出a∈?，
综上，a≥e^-4．