Question

概率论概率论 相关系数怎么算

Answer 1

相关系数

正的协方差表达了正相关性，负的协方差表达了负相关性。对于同样的两个随机变量来说，计算出的协方差越大，相关性越强。

但随后一个问题，身高和体重的协方差为30，这究竟是多大的一个量呢？如果我们又发现，身高与鞋号的协方差为5，是否说明，相对于鞋号，身高与体重的的相关性更强呢？

这样横向对比超出了协方差的能力范围。从日常生活经验来说，体重的上下浮动大约为20kg，而鞋号的上下浮动大约可能只是5个号码。所以，对于体重来说，5kg与中心的偏离并不算大，而5个号码的鞋号差距，就可能是最极端的情况了。假设身高和体重的相关强度，与身高和鞋码的相关强度类似，但由于体重本身的数值上下浮动更大，所计算出的协方差也会更大。另一个情况，依然是计算身高与体重的协方差。数据完全不变，而只更改单位。我们的体重用克而不是千克做单位，计算出的协防差是原来数值的1000倍！

为了能进行这样的横向对比，我们需要排除用统一的方式来定量某个随机变量的上下浮动。这时，我们计算相关系数(correlation coefficient)。相关系数是“归一化”的协方差。它的定义如下:

相关系数是用协方差除以两个随机变量的标准差。相关系数的大小在-1和1之间变化。再也不会出现因为计量单位变化，而数值暴涨的情况了。

 

依然使用上面的身高和体重数据，可以计算出

Var(X)=0.3×(60−70)2+0.3×(80−70)2=60

Var(Y)=0.3×(180−170)2+0.3×(160−170)2=60

ρ=30/60=0.5

这样一个“归一化”了的相关系数，更容易让人把握到相关性的强弱，也更容易在不同随机变量之间，做相关性的横向比较。

 

双变量正态分布

双变量正态分布是一种常见的联合分布。它描述了两个随机变量X1和X2的概率分布。概率密度的表达式如下：

X1和X2的边缘密度分别为两个正态分布，即正态分布N(μ1,σ1), N(μ2,σ2)。

另一方面，除非ρ=0，否则联合分布也并不是两个正态分布的简单相乘。可以证明，ρ正是双变量正态分布中，两个变量的相关系数。

 

现在绘制该分布的图像。可惜的是，现在的scipy.stats并没有该分布。需要自行编写。

选取所要绘制的正态分布，为了简单起见，让μ1=0, μ2=0, σ1=1,σ2=1。

我们先让ρ=0，此时的联合分布相当于两个正态分布的乘积。绘制不同视角的同一分布，结果如下。可以看到，概率分布是中心对称的。

再让ρ=0.8，也就是说，两个随机变量的相关系数为0.8。绘制不同视角的同一分布，结果如下。可以看到，概率分布并不中心对称。沿着Y=X这条线，概率曲面隆起，概率明显比较高。而沿着Y=−X这条线，概率较低。这也就是我们所说的正相关。

现在，ρ对于我们来说，有了更具体的现实意义。

Answer 2

EX = -1*1/4 + 1*3/4 = 1/2
EY = -1*3/4 + 1*1/4 = -1/2
XY的可能值为1和-1
P{XY=1} = P{X=1,Y=1} + P{X=-1,Y=-1} = 1/4+1/4 = 1/2
P{XY=-1} = P{X=1,Y=-1} + P{X=-1,Y=1} = 1/2+0 = 1/2
所以E(XY) = 1*1/2 + (-1)*1/2 = 0

因为E(X^2) = E(Y^2) = 1
所以D(X) = 1-(1/2)^2 = 3/4
D(Y) = 1/(-1/2)^2 = 3/4

把E(XY), E(X), E(Y), D(X), D(Y) 代入公式即可