Question

已知椭圆C1:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),且右焦点F2与抛物线C2：y^2=4x的焦点（1，0）重合，C1与C2交于一点P

x^2是x的平方的意思哈~~紧急。。会的高手请救命~谢谢哦
已知PF2=5/3,圆C3的圆心T是C2上一动点，知C3与y轴交于MN，/MN/=4,求证，当T运动时，圆C3恒过C1上一定点？？

Answer 1

首先画出图，T点在抛物线上，所以我们可以设T点为（t^2/4，t），MN这条弦长为4，我们用T往Y轴做垂线，T为圆心，则必定垂线平分这条弦，设C3半径为R，那么R^2=2^2+(t^2/4)^2..①，设出C3方程为（x-t^2/4)^2+(y-t)^2=R^2,将①代入，那么化简可得x^2-(t^2/2)x+t^2-4=0为C3方程..②观察方程②，发现（2，0）恒在C3上。
C3有关的条件用完了，接下来就看C1和C2，设P(X0，Y0)，抛物线焦半径公式有PF2=X0+P/2=5/3，(抛物线第二定义可得焦半径公式），P=2，所以X0=2/3，代入抛物线求得Y0=√(8/3），此点也在椭圆上，代入椭圆方程，同时椭圆中c=1，a^2-b^2=c^2，从而由这几个条件解出a，b。解得a=2，b=√3，此时椭圆方程就为x^2/4+y^2/3=1，此时我们看到②后面那个定点，刚好在椭圆上（一般这种定点靠观察法就可得，实在不行也可以配方求得），所以就证明出了当T运动时，C3恒过C1上一定点（2，0）。
这道题主要思路就是先要明白T在运动，因此C3方程是不断变化得，而C3又要过定点，同时定点又要在C1上，因此可以想到C3虽然求不出具体方程（不断变化），但是它要过定点，那必定可以求出一个恒过定点的方程，所以先从C3下手，从而找到定点，第二步只需要证明定点又在C1上，从而就证明了C3恒过一个C1上的定点了，要证明已求出的定点在C1上，唯一办法就是求出C1的方程再代入验证（最后求出的可能是数据完整的方程，也可能是和C3一样，能让已求出的定点恒在它上面），所以后面会想方设法的去求C1的方程。这样分析整道题的解题方向就明了了。