Question

设椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个点与抛物线C:x^2=4根号3y的焦点重合，F1F2分别是椭圆的左,右焦点

设椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个点与抛物线C:x^2=4根号3y的焦点重合，F1F2分别是椭圆的左,右焦点，且离心率e=1/2.且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交与M.N两点。

1.求椭圆的C方程;

2.是否存在直线l，使得OM.ON=-2。若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。

3.若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN//AB，求证|AB|^2/|MN|为定值

请详细解题说明，谢谢~

Answer 1

1，抛物线的焦点为（0，2根号3），其在椭圆C上，故：b=2根号3（b>0），
又e=1/2，即：根号[1-(b/a)^2]=1/2，代入b，解得：a=4 （a>0），
故椭圆C的方程为：x^2/16+y^2/12=1。
2，椭圆C的右焦点F2的坐标为（2，0），直线L过F2，可设直线L方程为：
y=k（x-2），直线L与椭圆交于M、N两点，
设M、N两点的坐标分别为M（x1，y1），N（x2，y2），
因为OM.ON=-2，即x1x2+y1y2=-2
而将y=k（x-2）代入椭圆方程，化简可得： （4k^2+3）x^2-16k^2x+16k^2-48=0，
故x1x2=（16k^2-48）/（4k^2+3），
将x=y/k+2 代入椭圆方程，化简可得： (4k^2+3)y^2+12ky-36k^2=0
故 y1y2=-36k^2/(4k^2+3)，
所以(16k^2-48)/（4k^2+3）-36k^2/（4k^2+3）= -2，解得：k无解。
所以满足条件的直线L不存在。
3，设过原点O的椭圆C的弦AB所在的直线方程为：y=kx，
MN//AB，MN过F2（2，0），则MN所在的直线方程为：y=k（x-2），
将y=kx，x=y/k分别代入椭圆方程，利用伟达定理，可求出：
|AB|=4根号[12（k^2+1）/（4k^2+3）]；
将y=k（x-2），x=y/k+2分别代入椭圆方程，利用伟达定理，可求出：
|MN|=24(k^2+1)/(4k^2+3)。
所以|AB|^2/|MN|=8，为定值。

Answer 2

楼上的，焦点应该是0，根号三

Answer 3

这磨难啊