Question

设椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为3/5

求过点﹙3,0﹚且斜率为4÷5的直线被椭圆M所截线段AB的中点P的坐标和弦AB的长

Answer 1

解：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)过点(0,4)，得
0^2/a^2+4^2/b^2=1
得b=4
则e=c/a=√(a^2-b^2)/a=√(1-b^2/a^2)=3/5
得b/a=4/5=4/a
解得a=5
故椭圆方程为
x^2/5^2+y^2/4^2=1
过点﹙3,0﹚且斜率为4/5的直线方程为
y=4/5*(x-3)
代入椭圆方程得
16x^2+16(x-3)^2=16*25
x^2-3x-8=0
设根为x1.x2，由韦达定理得
x1+x2=3
x1x2=-8
则
y1+y2=4/5*(x1-3)+4/5*(x2-3)=4/5*(x1+x2-6)=4/5*(3-6)=-12/5
故AB中点P的坐标为P((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)，也即P(3/2，-6/5)
弦AB的长|AB|=√(1+k^2)*|x2-x1|
=√[1+(4/5)^2]*√[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√41/5*√[3^2-4*(-8)]
=41/5
不明白请追问。