Question

设平面薄片所占的闭区域D由直线x+y=2,y=x和x轴所围成，它的面密度p(x,y)=x²+y²,求薄片的质量。

大一高数题

Answer 1

首先画出其区域范围 ，是一个三角形区域，其三个顶点为（0，0）（2，0）（1，1）其中（1，1）为y=x与y=-x+2的交点 根据其区域 选择Y型 其中y的范围是（0，1）x的范围是（y，-y+2）
所以
∫下限0上限1dy∫下限y上限-y+2 （x²+y²）dx=∫下限0上限1 （1/3 x的立方+y²x｜下限y上限-y+2 =∫下限0上限1dy｛1/3（-y+2）的立方+y²（-y+2）｝-（1/3 y的立方+y的立方）=
∫下限0上限1（-3/8y的立方+4y²-4y+3/8） =-2/3 y的四次方+3/4 y的立方-2y²+3/8y｜下限0上限1=-2/3+4/3-2+8/3=4/3