Question

急！！！数学题，高分请教， 或能提供解题思路的，立即给分~

设 f(x) 为[0 ,1] → [0 ,1] 的连续函数， f(0) = 0，f(1) = 1，f(f(x)) = x. 证明 f(x)≡x.

困惑：怎么利用f(f(x))=x的已知条件呢？
题目中没有说明f(x)的单调性及是否可导，所以用反函数及求导，感觉都不太合适……
麻烦各位高手，说的稍微详细些，小弟还是不太明白……

Answer 1

假设区间内有两点M，m使得f(M)=f(m),那么f(f(M))=f(f(m)),但是由条件f(f(x))=x，从而f(f(M))=f(f(m))不成立。这证明了函数是单值（x不同f(x)就不同）的。
再假设f(M)=N.那么f(f(M))=f(N)。又由条件，f(f(M))=M。从而f(N)=M。如果N>M,由连续函数介值定理，在[0,M]和[M,N]上存在两个函数值相同的点，与函数是单值的矛盾。类似的，N<M不成立。从而N=M。这就证明了命题。

还有二楼，f(0)=0只是奇函数的必要条件。。。

Answer 2

反函数性质

Answer 3

用奇函数偶函数证明！当F（0）=0它就是奇函数所以F（-X)=-F(x)再往里面代一下就能得出来了，打这上边费劲！

Answer 4

f'(e)=[f(1)-f(0)]/(1-0)…设u=f(x)…f'(u)=f'(u)f'(x)=1…u

Answer 5

令f(x)=a 则a和x是一一对应关系。
由f(f(x))=x可知，f(a)=x
如果a≠x则有，f(x)-f(a)=a-x=-(x-a)
这时，f(x)在[0,1]某些区间为减函数。