Question

这个的n阶导数应该怎么求

Answer 1

对于函数乘积y=f(x)*g(x)的n阶导数有展开公式：
y(n)=c(n,0)f(x)g(x)(n)+c(n,1)f(x)(1)g(x)(n-1)+c(n,2)f(x)(2)g(x)(n-2)+.c(n,n)f(x)(n)g(x).
其中:
y(n)表示y的n阶导数,c(n,0)是排列组合,f(x)(n)表示f(x)的n阶导数,g(x)(n)表示g(x)的n阶导数.
对于本题：
f(x)=x^2,g(x)=sin2x
f(x)(1)=2x,f(x)(2)=2,f(x)(3)=0
所以：
y(50)=c(50,0)*x^2*(sin2x)(50)+c(50,1)*(2x)*(sin2x)(49)+c(50,2)*2*(sin2x)(48).
=x^2(sin2x)(50)+100x*(sin2x)(49)+2450(sin2x)(48).
上面还可以继续化简，正弦函数的n阶导数是可以展开的，有公式，我想你后面知道的，再算几步就可以得到最终结果的，就是2^50[-x²sin2x+50xcos2x+(1225/2)sin2x]