Question

如图，在三角形ABC中，AD是高，BC的垂直平分线交AC于点E，BE交AD于点F 求证 点E在AF的

垂直平分线上

Answer 1

（因为到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以要证明点E在AF的垂直平分线上，只要证明EA=EF就行了）

证明：因为EG垂直平分线段BC，所以BG=GC，EB=EC，即三角形EBC是等腰三角形

          所以角BEG=角CEG  （等腰三角形三线合一）

          又因为AD是高，EG垂直平分BC，所以AD平行于EG   （垂直于同一直线的两条直线平行）

          所以角FAE=角CEG，角AFE=角BEG    （两直线平行，同位角、内错角相等）

          所以角FAE=角AFE，即EA=EF

          所以点E在AF的垂直平分线上。

Answer 2

∵EG垂直平分BC，
∴∠EBC=∠C,∠CEG=∠BEG,
∵AD是高，
∴AD∥EG,
∠AFE=∠FEG,∠C=∠EAF,
∴∠EAF=∠AFE, EA=EF，
即点E在AF的垂直平分线上．

追答

Answer 3

法一：做辅助线EH垂直于AD，因为EH垂直于AD，BC垂直于AD，则：EH平行于BC则 ∠EBC＝∠BEH＝BCE，∠BFD＝∠AFE＝90-∠BEC＝90-∠BCA＝∠DAC，所以AE＝EF所以EH为AF的垂直平分线．所以E在AF的垂直平分线上．
法二：（因为到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以要证明点E在AF的垂直平分线上，只要证明EA=EF就行了）
证明：因为EG垂直平分线段BC，所以BG=GC，EB=EC，即三角形EBC是等腰三角形
所以角BEG=角CEG （等腰三角形三线合一）
又因为AD是高，EG垂直平分BC，所以AD平行于EG （垂直于同一直线的两条直线平行）
所以角FAE=角CEG，角AFE=角BEG （两直线平行，同位角、内错角相等）
所以角FAE=角AFE，即EA=EF
所以点E在AF的垂直平分线上。