Question

设M(p,0),0<p<1,若点A(x0,y0)是椭圆x^2/4+y^2=1上距M最近的点,则X0=?(要详细过程）

答案是4p/3

Answer 1

解：椭圆方程
x²/4+y²=1
a²=4，b²=1
那么a=2，b=1
设A（2cosa，sina）0<a<π
根据题意
AM=√（2cosa-p）²+sin²a
令y=（2cosa-p）²+sin²a
=4cos²a-4pcosa+p²+sin²a
=3cos²a-4pcosa+p²+1
令x=cosa，-1≤x≤1
y=3x²-4px+p²+1
=3（x²-4px/3）+p²+1
=3（x-2p/3）²+1-p²/3
此为二次函数
-1<p<1
那么-2/3<2p/3<2/3
所以当x=2p/3的时候y有最小值1-p²/3(1-p²/3>0)
此时cosa=2p/3
那么x0=2×2p/3=4p/3