Question

高数，求下式极限，不用洛必达法则，答案：(e^(e+1))/8

Answer 1

解：不用洛必达法则，分享一种解法。设y=e^[(1+x)^(1/x)-(e/x)ln(1+x)]-1，分子提出因式(1+x)^(e/x)，变成(1+x)^(e/x){[e^(1+x)^(1/x)](1+x)^(-e/x)-1}。∴原式=(1+x)^(e/x)y/x^2。利用e^x、ln(1+x)的泰勒展开式【∵x→0，一般最多取前三项】，则y=[(1+x)^(1/x)-(e/x)ln(1+x)]+o(x^2)=e^[(1/x)ln(1+x)]-(e/x)ln(1+x)=e^(1-x/2+x^2/3)-e(1-x/2+x^2/3)=e[e^(-x/2+x^2/3)-(1-x/2+x^2/3)]=e[1+(-x/2+x^2/3)+(1/2)(-x/2+x^2/3)^2-(1-x/2+x^2/3)]=e(1/2))(-x/2+x^2/3)^2=(e/8)x^2+o(x^2)。∴原式=lim(x→0)(1+x)^(e/x)[(e/8)x^2+o(x^2)]/x^2=(e^e)(e/8)=(1/8)e^(e+1)。供参考。