Question

已知函数f(x)=1/2cos2x+asinx-a/4的定义域是{0,π/2},最大值为2,求实数a的值

详解

Answer 1

已知函数f(x)=1/2cos2x+asinx-a/4的定义域是{0,π/2},最大值为2,求实数a的值
解析：∵函数f(x)=1/2cos2x+asinx-a/4，其定义域是{0,π/2},最大值为2
令f’(x)=-sin2x+acosx=cosx(a-2sinx)=0
Cosx=0==>x1=2kπ-π/2，x2=2kπ+π/2
Sinx=a/2
f’’(x)=-2cos2x-asinx，f’’(-π/2)=2+a，f’’(π/2)=2-a
当a<-2时，
令f’(x)=-sin2x+acosx=cosx(a-2sinx)=0
Cosx=0==>x1=2kπ-π/2，x2=2kπ+π/2
a-2sinx≠0
f’’(x)=-2cos2x-asinx，f’’(-π/2)=2+a<0，f’’(π/2)=2-a>0
∴函数f(x)在x1=2kπ-π/2处取极大值；在x1=2kπ+π/2处取极小值；
当-2<=a<0时，
令f’(x)=-sin2x+acosx=cosx(a-2sinx)=0
Cosx=0==>x1=2kπ-π/2，x2=2kπ+π/2
f’’(-π/2)=2+a>=0，f’’(π/2)=2-a>0
∴函数f(x)在x1=2kπ-π/2处取极小值；在x1=2kπ+π/2处取极小值；
Sinx=a/2，x3=(2k-1/2)π+arcsin(a/2)，x4=(2k-1/2)π-arcsin(a/2)
f’’(x3)=f’’(x4)<0
∴函数f(x)在x3,x4处取极大值
当0<a<=2时，
令f’(x)=-sin2x+acosx=cosx(a-2sinx)=0
Cosx=0==>x1=2kπ-π/2，x2=2kπ+π/2
f’’(-π/2)=2+a>0，f’’(π/2)=2-a>=0
∴函数f(x)在x1=2kπ-π/2处取极小值；在x1=2kπ+π/2处取极小值；
Sinx=a/2，x3=(2k+1/2)π+arcsin(a/2)，x4=(2k+1/2)π-arcsin(a/2)
f’’(x3)=f’’(x4)<0
∴函数f(x)在x3,x4处取极大值
当a=0时，
函数f(x)=1/2cos2x
令f’(x)=-sin2x=0==>2x=2kπ==>x1=kπ，2x=(2k+1)π==>x2=kπ+π/2
f’’(x)=-2cos2x==> f’’(0)=-2<0，f’’(π/2)=2>0
∴函数f(x)在x1=kπ处取极大值；在x2=kπ+π/2处取极小值；
当a>2时，
令f’(x)=-sin2x+acosx=cosx(a-2sinx)=0
Cosx=0==>x1=2kπ-π/2，x2=2kπ+π/2
a-2sinx≠0
f’’(x)=-2cos2x-asinx，f’’(-π/2)=2+a>0，f’’(π/2)=2-a<0
∴函数f(x)在x1=2kπ-π/2处取极小值；在x1=2kπ+π/2处取极大值；

∵函数f(x)定义域为[0，π/2]，最大值为2
由上述分析可知：
当a<-2时，
函数f(x)在x1=2kπ-π/2处取极大值；在x1=2kπ+π/2处取极小值；
F(0)=1/2-a/4=2==>a=-6
当a>2时，
函数f(x)在x1=2kπ-π/2处取极小值；在x1=2kπ+π/2处取极大值；
f(π/2)=-1/2+a-a/4=2==>3a/4=5/2==>a=10/3

方法2：
函数f(x)=1/2cos2x+asinx-a/4=-(sinx)^2+asinx+(2-a)/4
=-(sinx-a/2)^2+(a^2-a+2)/4
设t=sinx，h(t)= -(t-a/2)^2+(a^2-a+2)/4
∵x∈[0,π/2]，∴t∈[0,1]
当a∈(-∞,0)时，对称轴t=a/2<0
∴函数h(t)在区间[0,1]上单调减
∴其最大值为h(0)，即f(0)
f(0)=(-a+2)/4=2==>a=-6

当a∈(0,2)时，对称轴0<t=a/2<1
∴函数h(t)在区间[0,1]最大值为(a^2-a+2)/4<1

当a∈(2,+∞)]时，对称轴t=a/2>1
∴函数h(t)在区间[0,1]上单调增
∴其最大值为h(1)，即f(π/2)
f(π/2)= -(1-a)+(-a+2)/4=2==>a=10/3

综上：a=-6或a=10/3时，函数f(x)=1/2cos2x+asinx-a/4的定义域是[0,π/2],最大值为2

Answer 2

f(x)=1/2cos2x+asinx-a/4=-sin²x+asinx+(1/2-a/4)=-(sinx-a/2)²+a²/4+1/2-a/4
因为定义域是{0,π/2},最大值为2
所以1.当0≤a/2≤1，a²/4+1/2-a/4=2
a²-a-6=0,0≤a≤2
a=3或a=-2 无解
2.当a/2<0时，sinx=0取最大值
即1/2-a/4=2 a=-6
3.当a/2>1时，sinx=1取最大值
即-1+a+1/2-a/4=2 a=5/3
综上：a=-6或a=5/3.

Answer 3

f(x)=1/2cos2x+asinx-a/4 cos2x = 1 - 2(sinx)^2
= - (sinx)^2 + asinx -a/4 +1/2
= -(sinx - a/2)^2 + 1/4(a^2-a+2)
x∈{0,π/2},
1) 当 a/2<=1/2 sinx=0
最大值 -（0-a/2)^2 + 1/4(a^2-a+2) = 2 ， a=-6
适合
2) 当 a/2 >1/2, sinx=1
最大值 -（1 -a/2)^2 + 1/4(a^2-a+2) = 2 ，a=10/3
适合
故a=-6 或 a=10/3

Answer 4

学过导数吗？学过就好做了
给f（x）求导得
f(x)'=-sin2x+acosx
令f(x)'=0
得acosx=sin2x=2cosxsinx
sinx=a/2
即当sinx=a/2时函数取得极值，定义域是{0,π/2}，所以cosx=根（1-a^2/4）
带入f(x)得a/2*根（1-a^2/4）+a^2/2-a/4=2，解方程即可