Question

证明fx=x/x^2+1是R上的有界函数

我的思路是，取X无限大，时，x^2远大于 1.那么就可以将1忽略点，fx=x/x^2=1/x 那么接1

就是讨论 1/X的上下界问题？。【我打到这里，也感觉到了一丝微妙的不对。。。】1/X 有下界，而无上界。
那么 x/x^2+1也是 有下界，无上界。

这样解对么？哪里出了问题？

Answer 1

上下界都有的，不过按你的思路，不能真正解决本题。
本题至少有两种解决的办法：
1、分类讨论，x=0时，可得具体值；x>0，x<0时，分别运用均值不等式，可以得出结论。
2、求反函数，若反函数的定义域有界，则原函数是有界函数。

追问

如果我，这样说呢
fx=-f（ -x） fx是奇函数
当x趋近于正无穷时，fx约等于 x/X^2=1/x，且x趋近于正无穷时，1/X无限接近于x轴即0，同时永不等于0，故fx在R上是有界函数。
这样证明对么？

追答

这个思路是可以的。但是需要写出严谨的过程，用极限的定义予以证明，才可以。

追问

你的两个解法，甚是不懂，如何书写，希望能严谨的证明一下。我会追加财富值的。谢谢。

追答

我说的这两种方法都是初中就应该会的

Answer 2

对fx进行求导，根据导数 得函数先增后减，最高点即为界值