Question

如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y＝2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA＝5．若抛物线y＝x2＋bx＋c

如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y＝2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA＝5．若抛物线y＝x2＋bx＋c过O、A两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若A点关于直线y＝2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；

（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆．过原点O作⊙O1的切线OP，P为切点(点P与点C不重合)．抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切?若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：
（1）把O（0，0）、A（5，0）分别代入y= x2+bx+c，
得 ，
解得 ；
∴该抛物线的解析式为y= x2- x；
（2）点C在该抛物线上．
理由：过点C作CD⊥x轴于点D，连接OC，设AC交OB于点E
∵点B在直线y=2x上，
∴B（5，10）
∵点A、C关于直线y=2x对称，
∴OB⊥AC，CE=AE，BC⊥OC，OC=OA=5，BC=BA=10
又∵AB⊥x轴，由勾股定理得OB=5
∵SRt△OAB= AE•OB= OA•OB
∴AE=2 ，∴AC=4 ；
∵∠OBA+∠CAB=90°，∠CAD+∠CAB=90°，
∴∠CAD=∠OBA；
又∵∠CDA=∠CAB=90°，
∴△CDA∽△OAB
∴ = = ；
∴CD=4，AD=8；
∴C（-3，4）
当x=-3时，y= ×9- ×（-3）=4；
∴点C在抛物线y= x2- x上；
（3）抛物线上存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切；
过点P作PF⊥x轴于点F，连接O1P，过点O1作O1H⊥x轴于点H；
∴CD‖O1H‖BA
∴C（-3，4），B（5，10）
∵O1是BC的中点，
∴由平行线分线段成比例定理得AH=DH= AD=4，
∴OH=OA-AH=1，同理可得O1H=7，
∴点O1的坐标为（1，7）
∵BC⊥OC，∴OC为⊙O1的切线；
又∵OP为⊙O1的切线，
∴OC=OP=O1C=O1P=5
∴四边形OPO1C为正方形，
∴∠POF=∠OCD
又∵∠PFO=∠ODC=90°，
∴△POF≌△OCD
∴OF=CD，PF=OD，
∴P（4，3）
设直线O1P的解析式为y=kx+b（k≠0），
把O1（1，7）、P（4，3）分别代入y=kx+b，
得 ，
解得 ；
∴直线O1P的解析式为y= x+ ；
若以PQ为直径的圆与⊙O1相切，则点Q为直线O1P与抛物线的交点，可设点Q的坐标为（m，n），
则有n= m+ ，n=y= m2- m
∴ m+ = m2- m，
整理得m2+3m-50=0
解得m= ，
∴点Q的横坐标为 或 ．

Answer 2

我把网址百度hi给你了，里面的解答很详细

Answer 3

没有图

Answer 4

55

Answer 5

那个，不应该是y=六分之一x2+bx+c么 - -。