Question

2010宁波市）24．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO

2010宁波市）24．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE＝23，∠DPA＝45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）∵直径AB⊥DE
∴CE=½DE=根号3
∵DE平分AO
∴CO=½AO=½OE
又∵∠OCE=90°
∴∠CEO＝30°
在Rt△COE中，OE=CE/cos30°=根号3/（根号3/2）=2
∴⊙o的半径为2

（2）连接OF
在Rt△DCF中
∵∠DPC=45°
∴∠D=90°-45°=45°
∴∠EOF=2∠D=90°
∴S扇形OEF=90°/360°×π×2的平方=π

Answer 2

1）解：连接OD，
则OD=OE，
又因为弦DE垂直平分半径OA，
所以DC=CE=DE/2=2√ 3/2=√ 3,OC=CA=OA/2=OD/2,
因为在Rt△DCO中，OD^2=CO^2 DC^2=(OD/2)^2 DC^2,
则3OD^2/4=(√ 3)^2=3,
OD^2=4,
则OD=2，
即圆O的半径为2.
2）解：连接OF，
因为∠DPA=45°，
所以在Rt△DCP中，∠CDP=90°-45°=45°，
所以圆心角∠EOF=2∠CDP=90°，
又因为OE=OF=2，
所以S阴影部分=S扇形OEF-S△OEF
=90°×π×2^2/360-1/2×2×2
=π-2