Question

如图,某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,为节约资源,现要按图中所示的方法从

如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（阴影部分）铁皮备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长应分别为（ ）
A、x＝10，y＝14 B、x＝14，y＝10 C、x＝12，y＝15 D、x＝15，y＝12
必须要有详细解析啊。我知道答案是D！

Answer 1

以直角梯形的下底直角边端点为原点，两直角边方向为x，y轴建立直角坐标系

则D（8，20），C（24，0）

因此CD所在直线为y=- 54（x-24）．

设矩形的其中一边长为x，则另一边长为y=- 54（x-24）．

则矩形面积为S=- 54x（x-24）

=- 54[（x-12）2-144]

所以当x=12时，S最大，此时另一边长为15．

故选D．

Answer 2

设直角梯形ABCD,内接矩形为FBGE.作DH⊥FE
,则△DHE∽△EGC.DH/EG=HE/GC,
即，（20-x）/x=(y-8)/(24-y).整理得：4x+5y=120.x=1/4*(120-5y).
于是，矩形FBGE的面积
=y*1/4*(120-5y).=1/4*(120y-5y^2).
上式的关于y的二次函数，当y=120/10=12时，函数有最大值180.此时，x=15.因此，当x=15,y=12时，矩形有最大面积180.

Answer 3

其实是个优化问题吧 下面我来试解一下
设 f(x,y)=长方形面积=x*y ; 0<x<20, 8<y<24 问题是 x和y 分别取什么值时 f(x,y)最大
解法
由图示 我们知道长方形的右上角顶点(y,x)一定在梯形的斜边上 就是说 该点坐标满足斜线方程
(取长方形左下角定点为原点列斜线方程) 设 斜线方程为 y=ax+b 其中a，b为待定系数
斜线通过两点 分别是 (24,0) 和(8，20) 带入斜线方程 求出待定系数 a= -1.25, b=30
则 斜线方程写做 y=-1.25x+30
将斜线方程代入面积公式 消去一元 得 f(x)=x*(-1.25x+30)
求导 f'=-2.5x+30 我们知道极值点处导数为零 所以一阶导数的根就是极值点 x=12 此处x为横坐标即长度 代入斜线方程y=15为纵坐标 即高度 注意 按图示顶点的坐标为(y,x)也就是要将我们定义的坐标颠倒过来 所以 答案为 y=12 x=15 答案 为D

Answer 4

设直角梯形ABCD,内接矩形为FBGE.作DH⊥FE
,则△DHE∽△EGC.DH/EG=HE/GC,
即，（20-x）/x=(y-8)/(24-y).整理得：4x+5y=120.x=1/4*(120-5y).
于是，矩形FBGE的面积
=y*1/4*(120-5y).=1/4*(120y-5y^2).
上式的关于y的二次函数，当y=120/10=12时，函数有最大值180.此时，x=15.因此，当x=15,y=12时，矩形有最大面积180.

Answer 5

A