Question

怎么解这两个积分，需要步骤，好像要用到复变函数的知识

Answer 1

　　解：分享一种不用复变函数的解法，转换成二重积分求解。
　　∵1/x=∫(0,∞)e^(-tx)dt，∴∫(0,∞)sinxdx/x=∫(0,∞)dt∫(0,∞)e^(-tx)sinxdx，
　　而对∫(0,∞)e^(-tx)sinxdx用分部积分法，可得∫(0,∞)e^(-tx)sinxdx=1-(t^2)∫(0,∞)e^(-tx)sinxdx，
　　∴∫(0,∞)e^(-tx)sinxdx=1/(1+t^2),
　　∴∫(0,∞)sinxdx/x=∫(0,∞)dt/(1+t^2)=arctant丨(0,∞)=π/2。供参考。

追问

谢谢，感觉第一步很巧妙，高手，那你对积分里函数加绝对值怎么说明它发散呢？

如果您会的话请赐教😊

追答

　　设f(x)=丨sinx丨，g(x)=x，则f(x)、g(x)均为非负函数。在(0,∞)内，选取子区间[a,A)，用比值法判别，λ=lim(x→∞)f(x)/g(x)=0，但∫(a,∞)g(x)dx发散，
　　∴∫(0,∞)丨sinx/x丨dx>∫(a,∞)丨sinx/x丨dx，发散。
　　供参考。

追问

这个λ=lim(x→∞)f(x)/g(x)=0，但∫(a,∞)g(x)dx发散， 怎么推出后面的∫(0,∞)丨sinx/x丨dx>∫(a,∞)丨sinx/x丨dx，发散？

追答

　　非负函数，用定积分的几何意义，可以这样认为”面积∫(0,∞)丨sinx/x丨dx大于>面积∫(a,∞)丨sinx/x丨dx“【[a,A)是子区间】，用比值法判别法定理得出。供参考。

追问

这个我懂，我指这个λ=lim(x→∞)f(x)/g(x)=0，但∫(a,∞)g(x)dx发散， 怎么推出∫(a,∞)丨sinx/x丨dx发散，这个好像没关系呢

Answer 2

下个作业帮，妈妈再也不用担心我的学习了