Question

已知函数f(x)=1/2x^2+lnx.求证:在区间【1,+∞】上,f(x)的图像在g(x)=2/3x^3的图像

Answer 1

已知函数f(x)=1/2x^2+lnx.求证:在区间[1,+∞]上,f(x)的图像在g(x)=2/3x^3的图像的下方。
【解】设h(x)= f(x)- g(x)= 1/2x^2+lnx-2/3x^3，
h′(x)=x+1/x-2x²=(x²+1-2x³)/x=[( x²- x³)+(1- x³)]/x
=[ x² ( 1- x)+(1- x)(1+x+ x²)]/x
=( 1- x) (2x²+x+1) /x
在区间[1,+∞]上, h′(x)= ( 1- x) (2x²+x+1) /x<0,
函数单调递减，最大值是h(1)= 1/2+ln1-2/3= 1/2-2/3=-1/6<0.
∴h(x)= f(x)- g(x)≤h(1) <0. f(x) ≤g(x)
即在区间[1,+∞]上,f(x)的图像在g(x)=2/3x^3的图像的下方。