Question

一质点在xoy平面运动，运动方程为x=3t+5,y=(1/2)t^2+3： ,式中 以s计，x,y以m计，求:

（1）、以 t为变量，写出质求质点速度矢量表示式，计算t=3s时质点的速度（2）、计算第2秒内质点的位移；（3）、加速度矢量的表示式，计算t=5s时质点的加速度；（4）、求出质点点位置矢量的表达式？（5）求质点在t=1s时的切向加速度和法向加速度的值。

Answer 1

一下单位矢量i，j，k都是带有箭头或者是黑体字

(1)据条件位矢r(t)=(3t+5)i+(0.5t^2+3)j-->v(t)=dr/dt=3i+tj；代入t=3s-->v(3)3i+3j

(2)第2s内的位移=前2s内位移减去前1s内的位移：

Δr=r(2)-r(1)=(11i+5j)-(8i+3.5j)=3i+1.5j

(3)a=dv/dt=j，表示加速度为恒矢量，在任意时刻包括t=5s都等于j

(4)在(1)中已经得到位矢r(t)=(3t+5)i+(0.5t^2+3)j

(5)见下图

Answer 2

1. 位置矢量的表达式         r=(3t+5)i+((1/2)t^2+3)j ;

2. 速度矢量的表达式         v=3i+tj ;

3. 加速度矢量的表达式      a=j ;

4. 计算t=3s时质点的速度   v=3i+3j  ,  大小 v=√(3^2+3^2)=3√2 ;

5. 第2秒内质点的位移  Δr=r2-r1=(3*(2-1)+5)i+((1/2)(2-1)^2+3)j=8i+7/2j , 大小 r=√(8^2+(7/2)^2)=(√113)/2

6. t=1s时,  切向加速度 at=dv/dt=0 , 合加速度a=j  的大小即为法向加速度 an=1 。

Answer 3

（1）直接求导：Vx=dx/dt=3,Vy=dy/dt=t, sigma V = 3i+tj
3s时速度，向V=3i+tj中代入t=3s即可。
（2）向原始X，Y参数方程中代入t=2s，可得X（2s）=11m，Y（2s）=5m。勾股定理求解
（3）对（1）得到的速度参数方程求导，ax=0，ay=1。可知，加速度不随时间变化，沿y轴方向始终得1米每二次方秒。
（4）位置矢量r=（3t+5）i+[(1/2)t^2+3]j
（5）联立关于t的参数方程X、Y。得到物体的运动轨迹方程：Y=(x-5)^2/18+3
求导dy/dx, 可得切线方程，代入t=1s，得到切线斜率k=tan(alpha)
可知，切线与y轴夹角beta=π/2-arctan（k）。
由第（3）问可知，物体运动加速度只存在于y轴方向上ay=1。
且已知夹角beta，则切法向加速度易求