Question

已知平面坐标内O为坐标原点,OA向量=（1，5），OB向量=（7，1），OM向量=（1，2），P是线段OM上一个动点，

已知平面坐标内O为坐标原点,OA向量=（1，5），OB向量=（7，1），OM向量=（1，2），P是线段OM上一个动点，当（PA向量·PB向量)取最小值时，求 OP向量的坐标，并求 cos∠APB的值

Answer 1

解：直线OM斜率是2，所以其方程是y=2x
P在上面，所以设P坐标是（x,2x)
所以PA向量=(1-x,5-2x),PB向量=(7-x,1-2x)
所以PA乘以PB
=(1-x)(7-x)+(5-2x)(1-2x)
=7-8x+x^2 + 5-12x+4x^2
=5x^2 -20x+12
这是一个二次函数，在x=20/(2*5)=2处取最小值，最小值是5*4-40+12
=-8
此时OP坐标为（2，4）

PA=（-1，1） PB=（5，-3）
|PA|=根号2，|PB|=根号34

所以向量PA点乘PB=-8=|PA|*|PB|*cosAPB=2倍根号17 * cosAPB

所以APB余弦值为-4/17 根号17

Answer 2

设OP=（K,2K）

则A（1，5），B（7，1）,M（1，2），P（K,2K）

∴PA=（K-1,2K-5）

PB=（K-7,2K-1）

∴Y=PAXPB=（K-1）X（K-7）+（2K-5）X（2K-1）

所以Y=5K2 -20K+13

所以当K=2,最小值Y=7

所以OP（2，4）

COS∠APB=PBXPA/|PB||PA|=-15√68/68