Question

已知向量a=（根号3，-1），b=（1/2,根号3/2）,若存在非零实数k,t使得x=a+(t平方-3)b,y=-ka+tb,且x垂直y.

试求函数关系式k=f(t)并确定其单调区间

Answer 1

a=(√3，-1），b=(1/2.√3/2),
x=a+(t^2-3)b,
y=-ka+tb,
x⊥y,
则向量x·y=0,
(a+bt^2-3b)·(-ka+tb)=0,
-ka^2-kabt^2-3abk+tab+t^3b^2-3b^2=0,
其中，a^2=√(3+1)=2,
b^2=1,
a·b=-√3/2+√3/2=0,
(a+bt^2-3b)·(-ka+tb)
=-2k+t^3-3=0,
k=(t^3-3)/2,
√k=√[(t^3-3)/2],
当t^3=3时，k有极小值为0，
(k+t^2)/t=k/t+t,
根据均值不等式，k/t+t≥2√[（k/t)*t],
k/t+t≥2√k,
k最小值为0，
∴(k+t^2)/t最小值为0。