Question

一道数学题 高二的

如图，F1，F2是椭圆C：x^2/a^2 + y^2/b^2 =1 (a>b>0)的左 右焦点，A，B分别是椭圆C的右顶点和上顶点，P是椭圆C上第一象限的一点，O为坐标原点,PF1垂直PF2.

1.设椭圆C的离心率为e，证明:根号2/2＜e＜1.
2.若 |向量OA| x |向量OB|=|向量OP|^2,证明:向量OP x 向量PA=0
3.在(2)的条件下,设 |向量PA| =根号5 - 1,求椭圆的长轴长.

Answer 1

证明：（1）由已知，点P在以F1F2为直径的圆上且在第一象限，所以
c<b,∴c²<b²=a²-c²，∴a²>2 c²,∴e>√2/2,又e<1,∴√2/2＜e＜1
（2）由（1）知，|OP|²= c²，设P（x,y）,则x²+y²=c²,∴y²=x²-c²代入椭圆方程得b²x²+a²c²-a²x²=a²b²，化简得（a²-b²）x²=a²（c²-b²）而由（1）知
a>b>c,上式不成立，故原题有问题

Answer 2

1.c=√(a^2-b^2),设P(p,q),由焦半径公式，|PF1|=a+ep,|PF2|=a-ep。
∵PF1⊥PF2,
∴PF1^2+PF2^2=F1F2^2,
即2(a^2+e^2*p^2)=4c^2,①
两边都除以2a^2,得1+e^2*(p/a)^2=2e^2,
|p/a|<=1,
∴e^2<1<=2e^2,
∴(√2）/2<=e<1.
2.由①，a^2+p^2*(a^2-b^2)/a^2=2(a^2-b^2），
∴p^2*(a^2-b^2)=a^2*(a^2-2b^2),
A(a,0),B(0,b).由|向量OA| x |向量OB|=|向量OP|^2,得
p^2+q^2=ab,
向量OP*PA=(p,q)*(a-p,-q)=p(a-p)-q^2=ap-(p^2+q^2)=ap-ab?

Answer 3

1.c=√(a^2-b^2),
设P(p,q),由焦半径公式，
|PF1|=a+ep,|PF2|=a-ep。
∵PF1⊥PF2,
∴PF1^2+PF2^2=F1F2^2,
即2(a^2+e^2*p^2)=4c^2,①
得1+e^2*(p/a)^2=2e^2,
|p/a|<=1,
∴e^2<1<=2e^2,
所以(√2）/2<=e<1.

(2).由①，a^2+p^2*(a^2-b^2)/a^2=2(a^2-b^2），
∴p^2*(a^2-b^2)=a^2*(a^2-2b^2),
A(a,0),B(0,b).由|向量OA| x |向量OB|=|向量OP|^2,得
p^2+q^2=ab,
向量OP*PA=(p,q)*(a-p,-q)=p(a-p)-q^2=ap-(p^2+q^2)=ap-ab

Answer 4

1.c=√(a^2-b^2),
设P(p,q),由焦半径公式，
|PF1|=a+ep,|PF2|=a-ep。
∵PF1⊥PF2,
∴PF1^2+PF2^2=F1F2^2,
即2(a^2+e^2*p^2)=4c^2,①
得1+e^2*(p/a)^2=2e^2,
|p/a|<=1,
∴e^2<1<=2e^2,
所以(√2）/2<=e<1.

(2).由①，a^2+p^2*(a^2-b^2)/a^2=2(a^2-b^2），
∴p^2*(a^2-b^2)=a^2*(a^2-2b^2),
A(a,0),B(0,b).由|向量OA| x |向量OB|=|向量OP|^2,得
p^2+q^2=ab,
向量OP*PA=(p,q)*(a-p,-q)=p(a-p)-q^2=ap-(p^2+q^2)=ap-ab

Answer 5

1.c=√(a^2-b^2),设P(p,q),由焦半径公式，|PF1|=a+ep,|PF2|=a-ep。
∵PF1⊥PF2,
∴PF1^2+PF2^2=F1F2^2,
即2(a^2+e^2*p^2)=4c^2,①
两边都除以2a^2,得1+e^2*(p/a)^2=2e^2,
因为|p/a|<=1,
∴e^2<1<=2e^2,
∴(√2）/2<=e<1.
所以2.由①，a^2+p^2*(a^2-b^2)/a^2=2(a^2-b^2），
∴p^2*(a^2-b^2)=a^2*(a^2-2b^2),
A(a,0),B(0,b).由|向量OA| x |向量OB|=|向量OP|^2,得
p^2+q^2=ab,
向量OP*PA=(p,q)*(a-p,-q)=p(a-p)-q^2=ap-(p^2+q^2)=ap-ab