Question

高数问题求解 19

Answer 1

证明：
∵f(x)∈C[a,b]
∴根据最小最大值存在定理，f(x)在[a,b]上必然存在最大值M和最小值m，令：
f(xm)=m，f(xM)=M，其中，xm,xM∈[a,b]
再令：
[λ1f(x1)+λ2f(x2)+...+λnf(xn)]/(λ1+λ2+...+λn) = C
又∵
[λ1f(x1)+λ2f(x2)+...+λnf(xn)]/(λ1+λ2+...+λn)
≤ [λ1f(xM)+λ2f(xM)+...+λnf(xM)]/(λ1+λ2+...+λn)
=(λ1+λ2+...+λn)·f(xM) / (λ1+λ2+...+λn)
=f(xM)=M
[λ1f(x1)+λ2f(x2)+...+λnf(xn)]/(λ1+λ2+...+λn)
≥[λ1f(xm)+λ2f(xm)+...+λnf(xm)]/(λ1+λ2+...+λn)
=(λ1+λ2+...+λn)·f(xm) / (λ1+λ2+...+λn)
=f(xm)=m
∴m≤C≤M
根据介值定理，必定∃ξ∈[a,b]，使得：
f(ξ)=C
即：
f(ξ)
= [λ1f(x1)+λ2f(x2)+...+λnf(xn)]/(λ1+λ2+...+λn)
=Σ(k:1→n) λk·f(xk)
证毕！