Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C,连接AC、BC，A、C两点的

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C,连接AC、BC，A、C两点的坐标为A(－3,0)、C（0，根号3），且当x=－4和x=2时二次函数的函数值等。
（1）求二次函数解析式
（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动。
当运动时间为t秒时，连接MN，将⊿BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及P的坐标；
二次函数图像的对称轴上是否存在点Q，使得以B、N，Q为顶点的三角形与⊿ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）C(0，√3）代入函数可得，c=√3，y=ax²+bx+√3，A(－3,0)，代入函数有9a-3b+√3=0，x=－4和x=2时二次函数的函数值等，则有16a-4b+c=4a+2b+c
联立两个方程可求得y=-√3/3(x²)-2√3/3(x)+√3
（2）求得B （1，0），BMN显然为一个等腰三角形，因此根据对称性，PB⊥MB，设M(1-t，0），BN=t，因此N往x轴做垂线，因为COB这个三角形三个角为30°，60°，90°，再利用横纵坐标的几何意义，可求得N点的坐标为（1-t/2，√3/2(t))，利用斜率公式求得，斜率Kmn=√3，Kpb=y/(x-1)，两个斜率之积为-1则垂直，同时y=-√3/3(x²)-2√3/3(x)+√3，方程联立
可得P（-2，√3）or（1，0），根据题意，p应该为（-2，√3），利用MN中点与PB中点重合，可求得t=2。.
此时N点与C点重合，对称轴为x=-1，计算可得，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∠CBA=60°，通过画图观察，容易知道Q点只可能位于AC上，或者位于AB下方。
当Q点位于AC上时，容易得到此时的BQN为一个30，60，90的直角三角形，Q（-1，2√3/3）。
当Q点位于AB下方时，∠CBQ=90°，假设相似，那么若∠QCB=30°，BQ=2√3/3，设对称轴与x轴交点为R，则RB=2，RB>QB，矛盾，若∠CQB=30°，AC=BQ=2√3，则ACB和QNB全等，满足要求，此时Q（-1，-2√2），所以存在Q点，并且有两个，Q（-1，-2√2）orQ（-1，2√3/3）。

Answer 2

（1）当x=－4和x=2时二次函数的函数值等时，对称轴是（-4+2）/2=-1,即-b/2a=-1,然后把A.C坐标代入就可以求出a,b,c的值二次函数解析式就求出来了。y=A（x²+2x-3）,A=-根号3/3 注意是负号。。。。。。。。
（2）过程比较复杂，还有数学符号不好编辑，值和你说说思路吧：若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度分别沿BA、BC边运动，那么距离是相等的，由第一问可以知道，BA与X轴的夹角是60度，所以三角形BMN是菱形那么翻折后图形BMPN是菱形，设出时间t，然后BM.BN的距离就有了，N在横轴上坐标好确定是（1-t，0）M在BC线上，BC线的方程可以得到，B的坐标知道了，BM的距离t，根据两点间的距离公式可以求出M 坐标。M.N坐标都知道了，距离也是到了是t（菱形 ）所以可以求出t的值。t的值知道了那么MN线的方程可以求出来，再求MN线的垂直平分线的方程EF，AC的坐标知道了，AC 方程求出来，再联立EF.AC方程求出交点的坐标就是P ，最后就可以接着做下面的题了。
希望对你有帮助。。。

Answer 3

（1）A(－3,0)、C（0，√3），在y=ax²+bx+c（a≠0）的图像上，
∴9a-3b+c=0,
c=√3.
当x=－4和x=2时二次函数的函数值相等，
∴16a-4b+c=4a+2b+c,
∴b=2a,
解得a=-(√3）/3，b=-(2√3）/3，
∴y=[-(√3）/3]x^2-[(2√3）/3]x+√3
=（-1/√3）（x^2+2x-3).
(2)B(1,0).BC=2,BA=4.
PM=BM=BN=PN,
∴∠MBP=∠MBC/2=30°=∠A,
∴xP=(xA+xB)/2=-1,yP=2(√3）/3，
P(-1,2(√3）/3），BP=4(√3）/3，
t=BM=BN=4/3.
(3)对称轴x=-1,设Q(-1,q)。AC⊥BC.△BNQ与△ABC相似，以下分几种情况：
i)∠NBQ=90°时，BQ:y=(x-1)/√3，q=(-2)/√3，
BQ=4(√3）/3，BN/BQ=AC/BC=√3，
∴△NQB∽△ABC。
同法讨论其他情况（略）

Answer 4

（1）A(－3,0)、C（0，√3），在y=ax²+bx+c（a≠0）的图像上，
∴9a-3b+c=0,
c=√3.
当x=－4和x=2时二次函数的函数值相等，
∴16a-4b+c=4a+2b+c,
∴b=2a,
解得a=-(√3）/3，b=-(2√3）/3，
∴y=[-(√3）/3]x^2-[(2√3）/3]x+√3
=（-1/√3）（x^2+2x-3).
(2)B(1,0).BC=2,BA=4.
PM=BM=BN=PN,
∴∠MBP=∠MBC/2=30°=∠A,
∴xP=(xA+xB)/2=-1,yP=2(√3）/3，
P(-1,2(√3）/3），BP=4(√3）/3，
t=BM=BN=4/3.
(3)对称轴x=-1,设Q(-1,q)。AC⊥BC.△BNQ与△ABC相似，以下分几种情况：
i)∠NBQ=90°时，BQ:y=(x-1)/√3，q=(-2)/√3，
BQ=4(√3）/3，BN/BQ=AC/BC=√3，
∴△NQB∽△ABC。
再推其他情况

Answer 5

1）A(－3,0)、C（0，√3），在y=ax²+bx+c（a≠0）的图像上，
∴9a-3b+c=0,
c=√3.
当x=－4和x=2时二次函数的函数值相等，
∴16a-4b+c=4a+2b+c,
∴b=2a,
解得a=-(√3）/3，b=-(2√3）/3，
∴y=[-(√3）/3]x^2-[(2√3）/3]x+√3
=（-1/√3）（x^2+2x-3).
(2)B(1,0).BC=2,BA=4.
PM=BM=BN=PN,
∴∠MBP=∠MBC/2=30°=∠A,
∴xP=(xA+xB)/2=-1,yP=2(√3）/3，
P(-1,2(√3）/3），BP=4(√3）/3，
t=BM=BN=4/3.
(3)对称轴x=-1,设Q(-1,q)。AC⊥BC.△BNQ与△ABC相似，以下分几种情况：
i)∠NBQ=90°时，BQ:y=(x-1)/√3，q=(-2)/√3，
BQ=4(√3）/3，BN/BQ=AC/BC=√3，
∴△NQB∽△ABC。