Question

已知fx是定义在r上的函数,且对任意X属于R都有f(x+2)=f(2-x)+4f(2)，若函数y=f(x

已知fx是定义在r上的函数,且对任意X属于R都有f(x+2)=f(2-x)+4f(2)，若函数y=f(x)的图像关于点(-1，0)对称，且f(1)=2，则f(2017)=

Answer 1

1. 函数y=f(x)的图像关于点(-1，0)对称， =》f(-1+x)+f(-1-x)=0,

   =>f((x-1))=-f(-2-(x-1))=> f(x)= -f(-2-x)
   

2. f(x+2)=f(2-x)+4f(2), x=0代入，=> f(2)=f(2)+4f(2) => f(2)=0

3. 由f(2)=0,得 f(x+2)=f(2-x), f(x+2)=f(4-(x+2))=>f(x)=f(4-x)

4. 1和3得 -f(-2-x)=f(4-x), =>f(4-x)=-f((4-x)-6) => f(x)=-f(x-6)

5. f(x)=-f(x-6)=-(-f((x-6)-6))=f(x+12)

6. f(2017)=f(12*168+1)=f(1)=2