Question

设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（2-x）+f（x）=0恒成立．如果实数m、n满足不等式组f(m

设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（2-x）+f（x）=0恒成立．如果实数m、n满足不等式组f(m2?6m+23)+f(n2?8n)＜0m＞3’则m2+n2的取值范围是（　　）A．（3，7）B．（9，25）C．（13，49）D．（9，49）

Answer 1

∵f（2-x）+f（x）=0，
∴f（2-x）=-f（x），
∴f（m²-6m+23）+f（n²-8n）＜0，可化为f（m²-6m+23）＜-f（n²-8n）=f（2-n²+8n），
又f（x）在R上单调递增，
∴m²-6m+23＜2-n²+8n，即m²-6m+23+n²-8n-2＜0，
∴（m-3）²+（n-4）²＜4，
∴不等式组

f(m2?6m+23)+f(n2?8n)＜0 m＞3

’即为

(m?3)2+(n?4)2＜4 m＞3

，
点（m，n）所对应的区域为以（3，4）为圆心，2为半径的右半圆（不含边界），如图阴影部分所示：

易知m²+n²表示点（m，n）到点（0，0）的距离的平方，
由图知，|OA|²＜m²+n²＜|OB|²，
可得点A（3，2），
∴|OA|²=3²+2²=13，|OB|²=（5+2）²=49，
∴13＜m²+n²＜49，即m²+n²的取值范围为（13，49）．
故选C．