Question

下图的画圈处是怎么算出的 请写出（详细过程）最好手写 谢谢 紧急求助(高等数学 理工学科）✔

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Answer 1

（1）把大Y=0带进上面的切线方程，求出X就是结果那个点
（2）∫y（t）dt，原本是∫y（x）dx，为了区分把x换成t而已，其实换什么都一样，当对这个积分求对x导数时候，去掉积分符号就是（∫y（x）dx）'=y（x），你可以用y=x²验证，∫x²dx=x³/3，而（∫x²dx）'=(x³/3)'=x²，y=y（x），所以两边对x求导就是(y²/y')'-y（x）=0，也就是（y²/y'）'=y，（2yy'-y²y''）/（y'）²=y→2y'-yy''=（y'）²，所以书本上那个结果是错误的，但是它的思路是对的，按照它的思路方法自己算下去还是可以的，现在姑且就认为结果是书上的那个结果，然后说下面的第三个问题
（3）dp/p=dy/y，两边求积分，∫dp/p=∫dy/y，得到lnp+C1=lny+C3（C1和C3是任意的常数，求不定积分都要加上去的，老师也常这样说），所以lnp=lny+C3-C1，因为C3和C1是任意的，所以我们设C3-C1=lnC1，lnC1也是常数，只要是常数就行，所以lnp=lny+lnC1=lnC1y，p=C1y
而同理，p=y'=dy/dx=C1y→dy/（C1y）=dx，两边求不定积分（没有范围限定所以叫不定，不定就要加任意常数）得lny/C1+C4=x+C5→lny=C1（x+C5-C4）=C1x+C1（C5-C4），C1，C5，C4是任意常数，所以设任意常数C2=C1(C5-C4)（任意常数都可以融合在一起变成一个任意常数），所以lny=C1x+C2，y=e的（C1x+C2）次方
（4）当x=0时候，上下限一样，那么dt这个微元等于0，所以这时候∫y（t）dt=0，所以y²/y'=1，由于y（0）=1，所以y²（0）=1，所以y'（0）=1，
又由于y=e的（C1x+C2）次方，把y（0）=1，得C2=0，y'=C1e的（C1x）次方，把y'（0）=1带进去得到C1=1