Question

已知o是△ABC内一点，且OA 2OB 3OC=0(向量) 则△AOB，△AOC，△BOC的面积之比

已知o是△ABC内一点，且OA 2OB 3OC=0(向量) 则△AOB，△AOC，△BOC的面积之比为多少

Answer 1

答案：3：2：1
分别延长OB、OC至B’、C‘,使得OB’=2OB,OC‘=3OC
因OA+2OB+3OC=0,即OA+OB’+OC‘=0,所以O为三角形ABC重心（三中线交点）
接下来证明三角形△AOB’,△AOC‘,△B’OC’面积相等：
设BC边上中线为AD,则S△ADB’=S△ADC‘,
在△BOC中亦有S△ODB’=S△ODC‘
所以S△ADB’-S△ODB’=S△ADC‘-S△ODC‘,即S△AOB’=S△AOC‘
同理可证三者两两相等
1.在△AOB’中,B为OB‘边中点,所以S△AOB=S△AOB’/2
2.在△AOC’中,C为OC‘边近O端三等分点,所以S△AOC=S△AOC’/3
3.在△B'OC'中,连BC',B为OB‘边中点,所以S△BOC'=S△B'OC‘/2
在△BOC'中,C为OC‘边近O端三等分点,所以S△BOC=S△BOC'/3=S△B'OC‘/6
因为S△AOB’=S△AOC‘=S△B’OC’
△AOB：△AOC：△BOC=S△AOB’/2：S△AOC’/3：S△B'OC‘/6=3：2：1