Question

设A是n阶实对称证明a可逆的充分必要条件是存在n阶实矩阵b使得AB+B转置A是正定

Answer 1

若A可逆，取B=A1 (A的逆矩阵) 则AB+B`A=2E，命题得证 （B`表示B转置）
若AB+B`A正定，则对于任意X，0<=X`(AB+B`A)X=X`ABX+X`B`AX=X`A`BX+X`B`AX=(AX，BX)+(BX,AX)=2(AX,BX) 若AX=0 有非零解X0，将X0带入上式 则有0<0 矛盾 所以AX=0只有零解 所以
r(A)=n A可逆

Answer 2

如图解答