Question

帮忙证明不等式，要详细过程，不要告诉我求个导就行，谢谢！

Answer 1

说求导就行的，肯定是在胡扯。本题需要求三阶导数。
证：
令f(x)=x- x³/6 -sinx (0≤x≤π/2)
f'(x)=1-½x²-cosx
f''(x)=sinx-x
f'''(x)=cosx-1≤0
f''(x)单调递减
f''(0)≥sin0-0=0
f''(x)在[0，π/2]上恒≤0
f'(x)在[0，π/2]上单调递减
f'(0)=1-0-1=0
f'(x)在[0，π/2]上恒≤0
f(x)在[0，π/2]上单调递减
f(0)=0- 0³/6 -sin0=0
0<x<π/2，f(x)<f(0)
f(x)<0
x- x³/6 -sinx<0
x - x³/6<sinx
即：0<x<π/2时，x - x³/6<sinx

追问

为什么二阶导单调递减

因为三阶段小于0所以二阶导单调递减

追答

是的。
n阶导数≤0，n-1阶导数单调递减，以此类推。

追问

证明二阶导单减后为什么要带左端点0，而不是右端点π/2

追答

既然是单减，先判断最大值是不是非正，如果最大值都非正，那么其它值都小于0，为下一步做准备。
这个应该很容易理解吧。

追问

第七步到第八步没看懂，二阶导都大于0了，为什么又小于0

额，知道了

追答

过程无误。很容易理解。没有什么二阶导大于0，而是≤0，请认真阅读解题过程。

追问

你第七步的时候不是二阶导大于0吗

追答

怎么能看成大于0，实在是不明白你到底看到了什么。

追问

这个前一步

这步

追答

哦，那个确实写错了。f''(0)=sin0-0=0
等于号写成≥了，笔误。

追问

所以最大值为0，单减就是负的

追答

是的。然后依次倒推，最后推出f(x)单调递减

追问

好的，谢谢！

Answer 2

求个导就行

追答

或者使用泰勒展开