Question

等腰三角形ABC的腰AB上的中线CD的长为2则三角形ABC周长的最大值

等腰三角形ABC的腰AB上的中线CD的长为2则三角形ABC周长的最大值是多少？

Answer 1

线性规划
设AB=AC=2x，BC=y，已知CD=2，三角形ABC周长z=4x+y，
由三角形三边关系可知
3x>2
x<2
x+y>2
x-y<2
4x>y
x>0
y>0
在直角坐标系中做出可行域，对于目标函数z=4x+y来说，z在（2,8）处取到最大值16

Answer 2

中线长公式，设腰为2x,底为y，则2x^2+y^2=8①
周长=4x+y
这里直接用柯西不等式就可
(2x^2+y^2)(8+1)≥(4x+y)^2
所以4x+y≤6√2
所以最大值为6√2
现在验证是否符合题意
x=2y
符合题意(开动一下你的脑筋)

Answer 3

设AD=x，所以BD=x，AC=2x，设BC=y。
则三角形ABC周长z=4x+y，
根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得出x，y满足下列条件
x>0
y>0
3x<2
x+2>y
x+y>2
作图，得出x=2/3，y=8/3时，z最大=16/3

Answer 4

等边三角形的时候，周长最短
具体的答案自己算吧，先假设是等边三角形，然后在证明是最大就行了
证明过程就不写了，用三角函数证明

Answer 5

解：
假设等腰三角形abc的腰长为2x，则其周长y=4x+bc
又余弦定理得
ac²=2²+x²-4xcos∠adc
(1)
bc²=2²+x²-4xcos∠bdc
(2)
又cos∠adc=-cos∠bdc
(1)+(2)得
4x²+bc²=8+2x²
得到bc=√(8-2x²)
所以y=4x+√(8-2x²)
y=8(x/2)+√(8-2x²)≤√{9[8(x/2)²+(8-2x²)]}=6√2
x/2=√(8-2x²)，即x=(4√2)/3时等号成立
所以，等腰三角形abc的最大周长是6√2