Question

x^2dy=(y^2-xy+x^2)dx求微分方程，要详细过程，谢谢

Answer 1

求微分方程 x²dy=(y²-xy+x²)dx的通解
解：两边同除以x²得：dy=[(y/x)²-(y/x)+1]dx，即y'=(y/x)²-(y/x)+1........①
令y/x=u，则y=ux.........②；故y'=u+xu'；代入①式得：u+xu'=u²-u+1;
化简得：xu'=u²-2u+1=(u-1)²；
分离变量得：du/(u-1)²=dx/x；取积分得 ∫du/(u-1)²=∫dx/x;
积分之得：-1/(u-1)=lnx+c;
故u-1=-1/(c+lnx)，即u=1-1/(c+lnx);代入②式即得原方程的通解为：
y=x-[x/(c+lnx)].