Question

各位学长学姐，这三道高数极限题目怎么做？

Answer 1

1、p>1时，∫1/x^p dx= 1/(1-p) *1/x^(p-1)
在p大于1时，
x趋于无穷大，则1/x^(p-1)趋于0，显然收敛
而p=1时，∫1/xdx=lnx，
x趋于无穷大则发散
p<1时，1/x^(p-1)趋于无穷大，那么积分是发散的

2、∫1/x (lnx)^p dx
=∫ 1/(lnx)^p d(lnx)
这时实际上就等价于第1个结论，
lna >0即a >1

3、显然若 λ小于等于0，
那么x^k *e^(-λx)趋于无穷大，一定是发散的

λ大于0时，
泰勒展开e^x=1+x+x^2/2+...+x^n/n!+...
即x^k *e^(-λx)=x^k / [1+λx +(λx)^2/2... +(λx)^n /n!] <1
所以是收敛的

4、∫1/(x-a)^p dx
=1/(1-p) *(x-a)^(1-p)
若p小于1，那么代入x的上下限b和a，显然收敛
若p=1，积分得到ln|x-a|，x=a时发散
而若p大于1，即1-p小于等于0
那么代入下限x=a时，x-a趋于0，(x-a)^(1-p)发散