Question

求x＋y＝5的正整数解

Answer 1

(2x-y-2)²+(x+y+2)²=5x，y是正整数，2x-y-2，x+y+2是整数，(2x-y-2)²，(x+y+2)²是完全平方数，且x>0y>0x+y+2>25拆成两个完全平方数的和，只能拆为1和4，又x+y+2>2，因此x+y+2=4(1)2x-y-2=1(2)(1)+(2)3x=5x=5/3，不是正整数，舍去。方程无正整数解。也可以用另一种方法验证：平方项恒非负，(2x-y-2)²≥0x，y都是正整数，x≥1y≥1，x+y+2≥4(x+y+2)²≥16(2x-y-2)²=5-16=-11<0，与(2x-y-2)²≥0矛盾，因此方程无正整数解。