Question

不等式的大题

1、已知定义在R上的单调函数f(X)，存在实数x。,使得对于任意实数x1、x2，总有f(x。x1+x。x2)=f(x。)+f(x1)+f(x2)恒成立.
①求x。的值
②若f(x。)=1,且对任意正整数n，有数列an=f(n),bn=f(1/2^n )+1，求数列｛an｝与｛bn｝的通项公式
③对于②中的数列｛an｝，｛bn｝，令cn=（2的an次方减1）乘以b的下脚标n²+1,求证：c1+c2+…+cn＜1
请详解，谢了

Answer 1

（1）令x1=x2=0,得f(0)=f(x0)+2f(0),f(x0)=-f(0)
再令x2=0,得f(x0x1)=f(x0)+f(x1)+f(0)=f(x1),因为f(x)是单调函数，故x0x1=x1,又x1为任意实数，所以x0=1
（2）由（1）得，f(1)=1,且f(x1+x2)=f(x1)+f(x2）+1
an+1=f(n+1)=f(n)+f(1)+1=f(n)+2=an+2,{an}为等差数列，a1=f(1)=1,d=2,an=2n-1
f(1)=f(1/2)+f(1/2)+1,f(1/2)=0
bn=f(1/2^n )+1=f(1/2^(n+1) +1/2^(n+1))+1=2f(1/2^(n+1))+1+1=2bn+1
bn+1=1/2bn,{bn}是以b1=f(1/2)+1=1为首项，q=1/2为公比的等比数列，bn=1/2^ (n-1)
(3)cn=[2^(2n-1)-1]/2^(n^2)=1/2^(n^2-2n+1)-1/2^(n^2)=1/2^[(n-1)^2]-1/2^(n^2)
故c1+c2+.........cn=[1-1/2]+[1/2-1/2^4]+.......+{1/2^[(n-1)^2]-1/2^(n^2)}=1-1/2^(n^2)<1

Answer 2

由题意可知,f(x)为对数函数,剩下就简单了

Answer 3

题目看不清，发到我qq上来吧，185332193