Question

这道反常积分题怎么做，第二张图是我做的

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Answer 1

你错就错在分解成了部分分式之和,因为这两个部分分式在0到+∞上的积分都是发散的,相当於你拆分成了∞-∞型.我们知道极限减法运算,差的极限等於极限的差,这条性质是在两个极限都存在的情况下你才能相减,不可以拆开来以後变成∞-∞明白没.
具体怎麼做,直接积分啊,先求出不定积分,再把上下限代进去做.
∫dx/x(x²+1)
=∫dx/x-∫xdx/(x²+1)
=ln|x|-1/2*ln|x²+1|+C
=ln|x/√(x²+1)|+C
把+∞代进去,变成ln1=0.1代进去,变成ln(1/√2)=-1/2*ln2,所以结果为0-(-1/2*ln2)=1/2*ln2

Answer 2

你的做法的思路是对的，但是不能拆成两个积分，这两个积分都不收敛。被积函数拆开为1/x－x/(1+x²)后，原函数是ln[x/√(1+x²)]，代入上下限，计算后，积分值是ln√2＝1/2ln2。

Answer 3

你为什么后面的下限变成了2

追答

前面都是1，后面突然变为2怎么得来的

追问

因为积分变量变了

下限随之改变

追答

这道题不用变化积分变量吧

你看一下过程，你的积分变量怎么变化的

追问

我红笔写的是答案，你算和答案一样吗

追答

你就是把1换成2错了，你算出来就成了ln5了，

明白了吗

至于这个的极限为什么是1/2ln2，你把1/2拿上去，就是根号1+x²，用前面这个除，把上下限带进去就可以了

这是算出结果的过程