Question

两个随机变量的线性组合的方差计算

Answer 1

对于两个随机变量X和Y的线性组合Z = aX + bY，其中a和b是常数，其方差可以通过以下公式计算：
Var(Z) = a^2 * Var(X) + b^2 * Var(Y) + 2ab * Cov(X, Y)
其中，Var(Z)表示Z的方差，Var(X)和Var(Y)分别表示X和Y的方差，Cov(X, Y)表示X和Y的协方差。
这个公式可以推广到更多随机变量的线性组合。对于n个随机变量X1, X2, ..., Xn的线性组合Z = a1X1 + a2X2 + ... + anXn，其方差可以计算为：
Var(Z) = a1^2 * Var(X1) + a2^2 * Var(X2) + ... + an^2 * Var(Xn) + 2 * (a1a2 * Cov(X1, X2) + a1a3 * Cov(X1, X3) + ... + an-1an * Cov(Xn-1, Xn))
其中，Var(Xi)表示第i个随机变量Xi的方差，Cov(Xi, Xj)表示随机变量Xi和Xj的协方差。
这个公式可以用于计算线性组合的方差，从而帮助分析随机变量之间的关系和影响。

Answer 2

如果两个随机变量X与Y独立，则D(aX+bY)=D(aX)+D(bY)=(a^2)D(X)+(b^2)D(Y)。
如果两个随机变量X与Y独立，则D(aX+bY)=D(aX)+D(bY)+2abcov(X,Y)=(a^2)D(X)+(b^2)D(Y)+2abρ{√D(X)}{√D(Y)}，其中ρ是X与Y的相关系数。