Question

一个高一数学证明题

若 函数f(x) 关于
1. x=a x=b 对称 证明函数是周期函数
2. （a,0）（b,0）对称 证明是周期函数
3. x=a （b,0）对称 证明是周期函数
要详细过程 谢谢啊

Answer 1

证明：1.因为函数f(x) 关于x=a x=b 对称，所以f(x) =f(2a-x) ，f(x) =f(2b-x) ，所以f(2a-x)=f(2b-x）=f（2a-x +（2b-2a））即f(x）=f(x+2b-2a），所以f(x)的以|2b-2a|为周期的周期函数
2.因为 函数f(x) 关于a,0）（b,0）对称，所以f（x）+f（2a-x）=0，f(x)+f(2b-x)=0
所以f（2a-x）=f(2b-x)=f（2a-x +（2b-2a））即f(x）=f(x+2b-2a），所以f(x)的以|2b-2a|为周期的周期函数
3设（x，f(x））在函数f(x) 上，则函数f(x) 关于. x=a 的对称点为（2a-x，f(x) . ）也在函数f(x) 上，所以f(x)=f(2a-x)① 函数f(x) 关于（b,0）对称点为（2b-x，-f(x)）所以：-f（x）=f（2b-x）② 因为点（2a-x，f(x) . ）也在f（x）上，所以其关于（b，0）对称点为（2b-2a+x，-f(x)），所以f（2b-2a+x）=-f（x）③ 由③②得f（2b-x）=f（2b-2a+x）令t=2b-x，则x=2b-t，带入f（2b-2a+x）得f（t）=f（4b-2a-t）即f（x）=f（4b-2a-x）④ 结合①④得f(2a-x)）=f（4b-2a-x）=f（4b-4a+2a-x）即f（x）=f（x+4b-4a)所以f（x）为以|4b-4a|为周期的周期函数
顺便说下，上面证明有的比较简便不懂在交流哈

Answer 2

基本都是设点举例子做的 写写太麻烦了
（这个都是基础题啊 小弟弟不给里啊）

Answer 3

书上都有这种例子，老师上课也会说的

Answer 4

因为x=a，x=b是对称轴，有f(a-x)=f(a+x)，f(b-x)=f(b+x)
所以f(x)=f(a-(a-x))=f(2a-x)=f(2a-x+b-b)=f(b-(b-2a+x))=f(b+(b-2a+x))=f(x+2(b-a))
所以f(x)是以2(b-a)为周期的周期函数