Question

用极限的定义证明

Answer 1

那就按照定义来吧..。过程是这么写的：
任取一个正实数ε，设一个自然数N【这个N先写在这里，具体是多少后面求出来再补上。】任意n＞N时，都有
|1/(n+1)-1|=n/(n+1)＜ε
【下面这是自己在草稿纸上算的】【可解得n＞ε/(1-ε)，这就是上面的不等式成立的条件，于是只要令N=[ε/(1-ε)(取整)，当n＞N的时候就能够满足上面的式子了。】
这样把N的取值写在上面，证明就结束了。
我也是刚学这个，自己的一点理解，有说得不明白的欢迎继续问。

Answer 2

1/(n+1)的极限是0，不是1.
证明方法就是用epsilon-N语言表述就可以了，关键是对于任意给定的正数epsilon，找到相应的N，N是与数列1/(n+1)的形式和epsilon有关的一个表达式，其他的都是完全比照数列极限的定义叙述就可以了。

Answer 3

（1）证明lim(x->3)[(x^2+1)/(x-1)]=5 证明：首先限定│x-3│<1，则10，解不等式 │(x^2+1)/(x-1)-5│=│(x-2)(x-3)/(x-1)│<2│x-3│<ε 得│x-3│2，取正数A≤min{1,ε/2} 于是，对任意的ε>0，总存在正数A≤min{1,ε/2}，当0(x-1)]=5成立，证毕。（2）证明lim(n->∞)[(3n^2+2n)/(n^2-1)]=3 证明：首先限定n>2，则n-1>1。对任意的ε>0，解不等式 │(3n^2+2n)/(n^2-1)-3│=4/((n+1)(n-1))<4/n4/ε，取正整数N≥max[2,4/ε] 于是，对任意的ε>0，总存在正整数N≥max[2,4/ε]，当n>N时，有│(3n^2+2n)/(n^2-1)-3│∞)[(3n^2+2n)/(n^2-1)]=3成立，证毕。

Answer 4

（1）证明lim(x->3)[(x^2+1)/(x-1)]=5 证明：首先限定│x-3│<1，则10，解不等式 │(x^2+1)/(x-1)-5│=│(x-2)(x-3)/(x-1)│<2│x-3│<ε 得│x-3│2，取正数A≤min{1,ε/2} 于是，对任意的ε>0，总存在正数A≤min{1,ε/2}，当0(x-1)]=5成立，证毕。（2）证明lim(n->∞)[(3n^2+2n)/(n^2-1)]=3 证明：首先限定n>2，则n-1>1。对任意的ε>0，解不等式 │(3n^2+2n)/(n^2-1)-3│=4/((n+1)(n-1))<4/n4/ε，取正整数N≥max[2,4/ε] 于是，对任意的ε>0，总存在正整数N≥max[2,4/ε]，当n>N时，有│(3n^2+2n)/(n^2-1)-3│∞)[(3n^2+2n)/(n^2-1)]=3成立，证毕。

Answer 5

（1）证明daolim(x->3)[(x^2+1)/(x-1)]=5 证明：首du先限定│zhix-3│<1，则10，解不等式dao │(x^2+1)/(x-1)-5│=│(x-2)(x-3)/(x-1)│<2│x-3│<ε版 得│x-3│2，取正数A≤min{1,ε/2} 于是，对任权意的ε>0，总存在正数A≤min{1,ε/2}，当0(x-1)]=5成立，证毕。（2）证明lim(n->∞)[(3n^2+2n)/(n^2-1)]=3 证明：首先限定n>2，则n-1>1。对任意的ε>0，解不等式 │(3n^2+2n)/(n^2-1)-3│=4/((n+1)(n-1))<4/n4/ε，取正整数N≥max[2,4/ε] 于是，对任意的ε>0，总存在正整数N≥max[2,4/ε]，当n>N时，有│(3n^2+2n)/(n^2-1)-3│∞)[(3n^2+2n)/(n^2-1)]=3成立，证毕。