Question

反常积分的敛散性是什么？

Answer 1

反常积分的敛散判断本质上是极限的存在性与无穷小或无穷大的比阶问题。首先要记住两类反常积分的收敛尺度：

对第一类无穷限  而言，当x→+∞时，f(x)必为无穷小，并且无穷小的阶次不能低于某一尺度，才能保证收敛；

对第二类无界函数  而言，当x→a+时，f(x)必为无穷大。且无穷小的阶次不能高于某一尺度，才能保证收敛；这个尺度值一般等于1，注意识别反常积分。[2] 

Answer 2

首先，反常积分，是相对于定积分来说的一类积分情况。区别在于，定积分中，被积函数的x或者y在数轴上的取值范围是有限的，是具体的，是一段有限长度的距离。通常对于这个积分计算，我们可以得到具体的数值，反映在几何意义上就是可以得到一个有限的面积的大小。

而反常积分就是在x或y的取值上，得到一个x或y在数轴上一直取到无穷，这令我们怀疑，这个积分取到这么远，那么函数下方的面积到底是有限还是无限呢？

其次，“敛散性”就是，指这个看似“反常”的积分是否真的可以得到有限面积而不是无限的面积。

比如，反常积分收敛，就是这个积分计算后可以得到一个有限的面积；发散，就是得到了一个无穷大的面积。反常积分收敛或者发散的性质称之为敛散性。