Question

为什么梯度方向是等高线的法线方向？

Answer 1

梯度的确是某一类曲线的法线方向，重要的问题是:什么曲线?是等值线!就是所有满足f(x,y)=c的点(x,y)确定的曲线。那在单变量下怎么理解?就是f(x)=c确定的x，只不过是一些点而已!楼主把函数曲线本身给当成等值线了。那这种情形下梯度的方向怎么确定?回顾梯度的意义:函数值增长最快的自变量改变方向。所以在单变量情况下只能是沿X正方向或负方向，导数为正就沿正方向，导数为负就沿负方向。

Answer 2

你可以这样想象一个z=f(x,y)的三维图像，每一个（x,y）点都有一个z与之映射，可以想象得到那将是一个曲面，然后你想象曲面上一个特定的点，它就像你在爬山的时候站在半山腰一样。

如果你平的在那个半山腰左右走，那么你的高度是不会变的。这里高度就是z的值。这条你刚刚走的线就是等值线。既然在求梯度的时候要求导，正如一元函数一样，你把“很小的曲面”当作“平面”来求导，正如你在一元函数中把“一小段曲线”当化做"直线"一样。你可以想象如果你笔直朝着山顶走，就可以最快的上升（如果是平面,而且你的速度一定的话）。这条向上的线的就是梯度向量加上z的增量所组成的向量。（注意，二元函数的梯度是二维的向量。两个维度是自变量。）

现在你已经在这个曲面上找到了等值线和梯度了，试想下，你在一个斜的平面上走，向上升最快的方向是不是唯一的呢？平着走和向上走两个方向是不是垂直的呢？所以说,梯度是等值线的法线方向.
这就是梯度几何意义，如果用向量乘来计算，那将是
→ →
Δz = grad z · L
我很奇怪为什么打出来这个点乘符号这么小。左边是z的增加量，就是上升多少，右边是一个向上走的方向，一个是你现在选择的前进的方向向量。这里选择前进方向为（Δx,Δy）,得到：
ΔZ=Z'｜x · ΔX +Z'｜y ·ΔY 你可以看到,这就是二元函数偏导的定义.
现在把你前进的速度定为1,也就是L的长度定为1,得到的值就是方向导数.这是因为你选定了方向和速度,那么左边就是你上升的速度,也就是方向导数.

希望我的话对你理解有所帮助.