Question

梯度为什么垂直等高线的切线

Answer 1

梯度是一个向量,每个分量是其中一个自变量的偏导,  他的模为该点因变量的变化率, 他的方向为方向导数最大的方向.

为什么一点的梯度方向和该点的等高线的切线垂直呢?

该山的形状可以用曲面函数  来表示, 等高线就是 取不同值时平面和曲面x相截的曲线. 该曲线方程为:

这时 是隐函数,根据隐函数的求导方法, 该曲线任意一点的切线斜率为 .

由 隐函数存在定理 : 

曲面 的任意一点的梯度为 , 其中 

梯度目前是一个二维空间的向量，所以他的斜率为 

两个斜率相乘等于-1 ,所以他们垂直.

曲面上一点的所有的切线都在该点的切平面里面,  切平面的法向量的分量为偏导数, 这个法向量必然垂直该点等高线的切线.