Question

(1)抛物线在x轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3，-2）求二次函数的解析式

Answer 1

解：设抛物线顶点式方程为：y=a(x-3)^2-2 (a≠0)
y=ax^2-6ax+9a-2
抛物线在x轴上截得的线段长为4：
设，与x轴两交点横坐标分别为x1，x2
|x1-x2|^2=16
(x1+x2)^2-4x1*x2=16
36-4*(9a-2)/a=16
20a=36a-8
16a=8
a=1/2
二次函数的解析式：y=(1/2)*(x-3)^2-2
或者：y=(1/2)x^2-3x+(5/2)

Answer 2

设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，其中x2＞x1
在x轴上截得的线段长为4，x2-x1=4，x2=x1+4
∴y=a(x-x1)(x-x1-4)=a(x-x1)^2-4a(x-x1)=ax^2-2a(x1+2)x+ax1^2+4ax1
顶点坐标是（3，-2）
2a(x1+2)/(2a)=3，解得：x1=1
ax1^2+4ax1-[2a(x1+2)]^2/(4a)=-2
a+4a-[2a(1+2)]^2/(4a)=-2
a=1/2
∴x2=x1+4=5
∴y=1/2(x-1)(x-5)=1/2x^2-3x+5/2

Answer 3

1、设解析式是y=ax2+bx+c
2、定点为（3、-2），轴线为x=3，截得线段长为4，所以，抛物线与x轴的交点分别为（1、0）和（5、0）；
3、把上述三个点坐标代入1的解析式得：
a+b+c=0
25a+5b+c=0
9a+3b+c=-2
4、解方程组得到：a= 0.5 、b= -3 、 c=2.5
5、得到解析式为y=1/2x2-3x+5/2