Question

将f(z)=1/(z^2-5z+6)分别在其有限孤立奇点处展开为洛朗级数 ，这个要怎么求呢？

Answer 1

∵z²-5z+6=(z-2)(z-3)=0，则z1=2、z2=3，∴f(z)有两个奇点z1=2、z2=3。
而，f(z)=1/[(z-2)(z-3)]=1/(z-3)-1/(z-2)。
①在奇点z1=2处展开。∵1/(z-3)=-1/[1-(z-2)]，当丨z-2丨<1时，1/[1-(z-2)]=∑(z-2)^n，n=0,1,2，……，∞。∴f(z)=-∑(z-2)^n，n=-1，0,1,2，……，∞。
②在奇点z2=3处展开。∵1/(z-2)=1/[1+(z-3)]，当丨z-3丨<1时，1/[1+(z-3)]=∑[-(z-3)]^n，n=0,1,2，……，∞。∴f(z)=∑[(-1)^(n+1)](z-3)^n，n=-1，0,1,2，……，∞。
供参考。