Question

用区间套定理证明连虚函数有界性定理:若f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有界

Answer 1

假如f(x)在[a,b]上无界，设[a,b]＝[a1,b1],对分之，两个闭区间中至少有一个使f(x)无界，令其为
[a2,b2].再对分之，得到[a3,b3].等等。得到一个闭区间套
[a1,b1]＞（借用，意为包含）[a2,b2]＞……。|[an,bn]|＝（b-a）/2^n→0.
f(x)在每个[an,bn]上无界。
从区间套定理，存在ξ∈每个[an,bn]。当然ξ∈[a,b].，设f(ξ)＝c。∵f(x)在[a,b]上连续,存在δ＞0
使得x∈（ξ-δ，ξ+δ）时，f(x)∈（c-1,c+1）,
注意|（ξ-δ，ξ+δ）|＝2δ. ·取大n0.使（b-a）/2^n0＜δ。则[an0,bn0]＜（包含于）（ξ-δ，ξ+δ）
∴x∈[an0,bn0]时,f(x)∈（c-1,c+1）,这与“f(x)在每个[an,bn]上无界”矛盾。
∴f(x)在[a,b]上有界。[证明中设ξ不是a,b.请楼主稍作补充，完成这次证明。]